53.最大子数组和

题目

给你一个整数数组 nums ,请你找出一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6 。

示例 2:

输入: nums = [1]
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [5,4,-1,7,8]
输出: 23

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -104 <= nums[i] <= 104

**进阶:**如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

思路

实话说,我费了老大的功夫最后也没能通过所有的用例,所以在此记录一下。

错误解法

一开始我想到的是,通过两端删减元素的方法,一步步算出中间遇到的所有可能产生更大和的数组,从而完成题解。讲道理这个思路理论上可行,但是实际执行起来有很多问题。

首先,当数组的首尾两端存在一个更小的负值的时候,删除它会让数组的和变大。①

其次,控制首尾删除一个和为负数的子数组,也可以让数组的和变大。…… 吗?②

举个栗子🌰:

1
nums = [2, 0, -1, 0, -2, -3, 1, 2]

可以看到,数组左边的最短负数和数组为 [2,0,-1,0,-2],数组右边的最短负数和数组为 [-2,-3,1,2],按照 ②,应该删除右边的数组。但是这个数组的最大子数组和恰好是右边删除的这个数组的子数组 [1,2]的和,也就是说,在删除负数和数组的时候,会有可能,因为一个巨大的负数,而删除了答案对应的子数组。

现在回过头来看 ② 的描述,乍一看似乎没有问题,但是对于这道题来说,经过 ② 处理的子数组确实和比处理前的数组和大,但是删除的子数组存在一个更大的子数组和。

事实上,即使是 ①,对于这道题也有待商榷,因为删除的元素可能比剩下的数组和还要大。

综上,这一解法不可取。

动态规划解

从上一个错误的解法中吸取教训,这次首先尝试遍历所有子数组(子序列)方法,这总可以得到结果。

然后从一个 题解 得到了这样一句话:

通常我们遍历子串或者子序列有三种遍历方式

  • 以某个节点为开头的所有子序列: 如 [a],[a, b],[ a, b, c] … 再从以 b 为开头的子序列开始遍历 [b] [b, c]。
  • 根据子序列的长度为标杆,如先遍历出子序列长度为 1 的子序列,在遍历出长度为 2 的 等等。
  • 以子序列的结束节点为基准,先遍历出以某个节点为结束的所有子序列,因为每个节点都可能会是子序列的结束节点,因此要遍历下整个序列,如: 以 b 为结束点的所有子序列: [a , b] [b] 以 c 为结束点的所有子序列: [a, b, c] [b, c] [ c ]。

这里的第三种方式存在递推关系,适合动态规划:

在此贴一下 hello 算法 对于 动态规划的定义

动态规划(dynamic programming)是一个重要的算法范式,它将一个问题分解为一系列更小的子问题,并通过存储子问题的解来避免重复计算,从而大幅提升时间效率。

如文中 14.1.3 小节提到的,动态规划是一种“从底至顶”的方法:从最小子问题的解开始,迭代地构建更大子问题的解,直至得到原问题的解

对于这道题,假设对于结尾为 a 的数组,其最大和的子数组,只与

  1. 之前的数组的连续子数组最大和 sum 与结尾元素的和
  2. 结尾元素

这两个值相关,取决于谁更大。即,Math.max(sum + a, a)

因此可以写出这样的代码:

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var maxSubArray = function (nums) {
const preArr = []; // 以每一个元素结尾的有连续最大和的子数组的数组
let max = nums[0];
nums.forEach((item) => {
let sum = nums[0];
if (preArr.length) {
sum = preArr[preArr.length - 1].reduce((p, c) => ((p += c), p), 0);
if (sum + item >= item) {
preArr.push([...preArr[preArr.length - 1], item]);
} else {
preArr.push([item]);
}
} else {
preArr.push([item]);
}
max = Math.max(sum, max);
console.log(max);
});
console.log(preArr);
return max;
};

这里故意打印出 max 的每一次变更值和 preArr 本身,可以更清晰的看到运行时获取到的连续子数组:

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// max 增长序列
-2
-2
1
1
4
4
5
6
6

// preArr
[
[ -2 ], // 以 -2 结尾的有最大和的连续子数组
[ 1 ], // 以 1 结尾的有最大和的连续子数组
[ 1, -3 ], // ...
[ 4 ],
[ 4, -1 ],
[ 4, -1, 2 ],
[ 4, -1, 2, 1 ],
[ 4, -1, 2, 1, -5 ],
[ 4, -1, 2, 1, -5, 4 ]
]

上述代码求出了以任意元素结尾的拥有最大和的连续子数组,按题意,找出它们中的和最大值即可。可以看到,[4,-1,2,1] 即为最终答案对应的数组。

考虑到过程并不重要,只有每一步的最大值最重要,所以 preArr 可以简化为一个 pre 值,表示前一次循环后的连续子数组的最大和,于是可以精简为以下的代码:

动态规划解

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/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
var maxSubArray = function (nums) {
let pre = 0;
let max = nums[0];
nums.forEach((item) => {
pre = Math.max(pre + item, item);
max = Math.max(pre, max);
});
return max;
};

看来我还得好好重新学习一下动态规划,目前已经把动态规划搞混了,甚至写这一篇题解也费了好大劲才考虑清楚。至于分治解,在这道题里不是最优解,故略去。